Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A滿足f（A）=1+$\sqrt{3}$，若a=3，sinB=2sinC，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由誘導公式與輔助角公式得到f（x）的解析式，由此得到單調(diào)增區(qū)間．
（2）由f（A）=1+$\sqrt{3}$，得A=$\frac{π}{3}$，由恒等式得到B=$\frac{π}{2}$，所以得到b．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$．
=$\sqrt{3}$sin2x+sin（2x+$\frac{π}{2}$）+$\sqrt{3}$．
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}$+kπ，kπ+$\frac{π}{6}$]，（k∈Z）．
（2）∵f（A）=1+$\sqrt{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinC=2sin（$\frac{2π}{3}$-B），
∴cosB=0，即B=$\frac{π}{2}$，
∴由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，
∴b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡及由解析式求單調(diào)區(qū)間，以及正弦定理的應用．