Question

8．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左頂點A在圓O：x²+y²=16上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點P為橢圓C上不同于點A的點，直線AP與圓O的另一個交點為Q．是否存在點P，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}$=3？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由于橢圓C的左頂點A在圓O：x²+y²=16上．令y=0，解得x=±4，可得a=4．又離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b²=a²-c²．聯(lián)立解出即可得出．
（Ⅱ）設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線AP的方程為y=k（x+4），與橢圓方程聯(lián)立化簡得到（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0．利用-4×x₁=$\frac{64{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，解得x₁．可得|AP|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-（-4）|．又圓心到直線AP的距離為d=$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，可得|AQ|=2$\sqrt{16-s00myqo^{2}}$．利用$\frac{|PQ|}{|AP|}$=$\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}$=$\frac{|AQ|}{|AP|}$-1=3，解此方程即可判斷出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C的左頂點A在圓O：x²+y²=16上．令y=0，得x=±4，∴a=4．
又離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b²=a²-c²．
聯(lián)立解得c=2$\sqrt{3}$，b=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)直線AP的方程為y=k（x+4），
與橢圓方程聯(lián)立化簡得到（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0．
∵-4為上面方程的一個根，∴-4×x₁=$\frac{64{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，解得x₁=$\frac{4-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴|AP|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-（-4）|=$\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．
又圓心到直線AP的距離為d=$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴|AQ|=2$\sqrt{16-scmmeme^{2}}$=$\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∵$\frac{|PQ|}{|AP|}$=$\frac{|AQ|-|AP|}{|AP|}$=$\frac{|AQ|}{|AP|}$-1=$\frac{\frac{8}{\sqrt{1+{k}^{2}}}}{\frac{8\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}}$-1=$\frac{1+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-1=3，
此方程無解，
∴不存在直線AP，使得$\frac{|PQ|}{|AP|}$=3．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及其圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．