【題目】已知雙曲線的左右頂點分別為.直線和兩條漸近線交于點,點在第一象限且,是雙曲線上的任意一點.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)是否存在點P使得為直角三角形?若存在,求出點P的個數(shù);

(3)直線與直線分別交于點,證明:以為直徑的圓必過定點.

【答案】(1) ;(2)4個;(3)證明過程見解析.

【解析】

(1)根據(jù),可知,根據(jù)題意求出點的坐標(biāo),根據(jù),求出,這樣可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)分類討論以三點為直角頂點時能否構(gòu)成直角三角形,最后確定點P的個數(shù);

(3)設(shè)出點P的坐標(biāo),根據(jù)三點共線,結(jié)合斜率公式可以求出點的坐標(biāo),進(jìn)而可求出以為直徑的圓,最后根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可以判斷出該圓所過的定點.

(1)因為,所以,雙曲線的漸近線方程為:,由題意可知:

,所以,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

(2)因為直線的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設(shè)點的坐標(biāo)為:,則有.

當(dāng),所以,解得此時存在2點;

當(dāng),所以,,解得,此時存在2點;

當(dāng),此時點是以線段為直徑圓上,圓的方程為:,與雙曲線方程聯(lián)立,無實數(shù)解,

綜上所述:點P的個數(shù)為4個;

(3)設(shè)點的坐標(biāo)為,.

因為三點共線,所以直線的斜率相等,

因為三點共線,所以直線的斜率相等,, 所以的中點坐標(biāo)為:

,所以以為直徑的圓的方程為:,

,因此該圓恒過兩點.

練習(xí)冊系列答案
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2)求的值.

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A.B.C.D.

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