Question

（2013•遼寧）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

4

5

，則C的離心率e=

5

7

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F'，連接AF'、BF'，可得四邊形AFBF'為平行四邊形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，從而得到|AF|²+|BF|²=|AB|²，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=

1

2

|AB|=5．根據(jù)橢圓的定義得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后結(jié)合橢圓的離心率公式即可算出橢圓C的離心率．

解答：解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接AF'、BF'
∵AB與FF'互相平分，∴四邊形AFBF'為平行四邊形，可得|AF|=|BF'|=6
∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=

4

5

，
∴由余弦定理|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB|×|BF|cos∠ABF，
可得6²=10²+|BF|²-2×10×|BF|×

4

5

，解之得|BF|=8
由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7
∵△ABF中，|AF|²+|BF|²=100=|AB|²
∴∠AFB=90°，可得|OF|=

1

2

|AB|=5，即c=5
因此，橢圓C的離心率e=

c

a

=

5

7

故答案為：

5

7

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓經(jīng)過中心的弦AB與左焦點(diǎn)構(gòu)成三邊分別為6、8、10的直角三角形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．