設矩陣M是把坐標平面上的點的縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標保持不變的伸縮變換．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求矩陣M的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量．
考點：幾種特殊的矩陣變換
專題：矩陣和變換
分析：本題（1）根據(jù)矩陣變換的幾何意義，得到該矩陣；（2）利用特征多項求出矩陣的特征值，再解相應的方程組，得到該特征值的一個特征向量，得到本題結論．
解答： 解：（Ⅰ）由條件得矩陣M=
1       0
0       2
．
（Ⅱ）因為矩陣M=
1       0
0       2
的特征多項式為f(λ)=
.
λ-10
0λ-2
.
=（λ-1）（λ-2），
令f（λ）=0，解得特征值為λ1=1，λ2=2，
設屬于特征值λ1的矩陣M的一個特征向量為
e1
=
x
y
，
則M
e1
=
x
2y
=
x
y
，
解得y=0，取x=1，得
e1
=
1
0
，
同理，對于特征值λ2，
解得x=0，取y=1，得
e2
=
0
1
，
∴
e1
=
1
0
是矩陣M屬于特征值λ1=1的一個特征向量，
e2
=
0
1
是矩陣M屬于特征值λ2=2的一個特征向量．
點評：本題考查了矩陣變換的幾何意義、矩陣的特征值和特征向量，本題難度不大，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=xα的圖象過點(2，
2
2
)，則f（16）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的一個小區(qū)前面建了一個弓形景觀湖，如圖，該弓形所在的圓是以AB為直徑的圓，已知AB=300m，CD與AB平行且它們之間的距離為50
2
m，開發(fā)商計劃從A點出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋與地面和湖面均平行），為了使小區(qū)居民可以充分的欣賞湖景，所以要將湖面上的景觀橋PQ的長度設計到最長．
（1）記∠AOP=2θ，試用θ表示線段PQ；
（2）求PQ的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點F為拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，M（4，t）（t＞0）為拋物線C上的點，且|MF|=5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點M的坐標；
（Ⅱ）過點M引出斜率分別為k1，k2的兩直線l1，l2，l1與拋物線C的另一交點為A，l2與拋物線C的另一交點為B，記直線AB的斜率為k3．
（ⅰ）若k1+k2=0，試求k3的值；
（ⅱ）證明：
1
k1
+
1
k2
-
1
k3
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ex+2ax（a為常數(shù)），曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線x-y-3=0垂直．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當x＞0時，ex＞x2；
（Ⅲ）設F（x）=f（x）-ex+
1
3
x3+mx2+1，若F（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一個焦點到它的一條漸近線的距離等于實軸長的
1
4
，則該雙曲線的離心率為（　　）
A、
2
B、
3
C、
5
2
D、
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且g（x）≠0，當x＜0時f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（-3）=0，則不等式
f(x)
g(x)
＜0的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值等于（　�。�
A、98B、100
C、2450D、2550

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

假定平面內(nèi)的一條直線將該平面內(nèi)的一個區(qū)域分成面積相等的兩個區(qū)域，則稱這條直線平分這個區(qū)域．如圖，?是平面α內(nèi)的任意一個封閉區(qū)域．現(xiàn)給出如下結論：
①過平面內(nèi)的任意一點至少存在一條直線平分區(qū)域?；
②過平面內(nèi)的任意一點至多存在一條直線平分區(qū)域?；
③區(qū)域?內(nèi)的任意一點至少存在兩條直線平分區(qū)域?；
④平面內(nèi)存在互相垂直的兩條直線平分區(qū)域?成四份．
其中正確結論的序號是
 
．

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