Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜m的解集為（c，c+2$\sqrt{2}$）．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若x＞1，y＞0，x+y=m，求$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的值域求出a與b的關(guān)系，然后根據(jù)不等式的解集可得x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-m=0的兩個根為c，c+2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{m}$=c+2$\sqrt{2}$-c，解之即可．
（2）利用“1”的代換，即可求$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$的最小值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b=0只有一個根，即△=a²-4b=0則b=$\frac{{a}^{2}}{4}$．
不等式f（x）＜m的解集為（c，c+2$\sqrt{2}$）．
即為x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$＜m的解集為（c，c+2$\sqrt{2}$）．
則x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-m=0的兩個根為c，c+2$\sqrt{2}$
∴2$\sqrt{m}$=c+2$\sqrt{2}$-c
∴m=2；
（2）x+y=2，∴x-1+y=1，
∴$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$）（x-1+y）=3+$\frac{y}{x-1}$+$\frac{2（x-1）}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{x-1}$=$\frac{2（x-1）}{y}$時，$\frac{1}{x-1}$+$\frac{2}{y}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，基本不等式的運(yùn)用，同時考查了分析求解的能力和計算能力，屬于中檔題．