Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，且對(duì)于任意的n∈N^*都滿足a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，則數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和為 （　　）

• A． $\frac{1}{3n+1}$
• B． $\frac{n}{3n+1}$
• C． $\frac{1}{3n-2}$
• D． $\frac{n}{3n-2}$

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后得a_n，再利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}+3$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=3$，
又a₁=1，∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+3（n-1）=3n-2$．
∴${a}_{n}=\frac{1}{3n-2}$，${a}_{n}{a}_{n+1}=\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
則數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和為$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）=\frac{n}{3n+1}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．