Question

如圖，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=

π

3

，分別以△ABD與△CBD為底面作相同的正三棱錐E-ABD與F-CBD，且∠AEB=

π

2

．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）求平面的EBD與平面FBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）作EO₁⊥面ABCD于O₁，作FO₂⊥面ABCD于O₂，由已知得EO₁∥FO₂，且EO₁=FO₂=

6

3

．從而四邊形EO₁O₂F是平行四邊形，由此能證明EF∥平面ABCD．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面的EBD與平面FBC所成銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：作EO₁⊥面ABCD于O₁，
作FO₂⊥面ABCD于O₂，
∵E-ABD與F-CBD都是正三棱錐，
且O₁、O₂分別為△ABD與△CBD的中心，
∴EO₁∥FO₂，且EO₁=FO₂=

6

3

．…（3分）
所以四邊形EO₁O₂F是平行四邊形，所以O(shè)₁O₂∥EF．…（4分）
又O₁O₂?平面ABCD，EF不包含于平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD．…（6分）
（2）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，-1，0），C（-

3

，0，0），D（0，1，0），
E（

3

3

，0，

6

3

），F(xiàn)（-

3

3

，0，

6

3

）
∴

BE

=(

3

3

，1，

6

3

)，

BC

=（-

3

，1，0），

BD

=(0，2，0)，

BF

=(-

3

3

，1，

6

3

)．…（7分）
設(shè)

n1

=（x₁，y₁，z₁）是平面BDE的法向量，
則

n1 • BE =2y1=0 n1 • BD = 3 3 x1+y1+ 6 3 z1=0

，
取x₁=

2

，得

n1

=（

2

，0，-1），…（9分）
設(shè)

n2

=（x₂，y₂，z₂）為平面BCF的法向量，
則

n2 • BC =- 3 x2+y2=0 n2 • BF =- 3 3 x2+y2+ 6 3 z2=0

，…（10分）
取x2=

3

，得

n2

=（

3

，3，-

6

），
設(shè)平面EBD與平面FBC所成銳二面角為θ，…（11分）
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

6 + 6

3 ×3 2

|=

2

3

，
∴平面的EBD與平面FBC所成銳二面角的余弦值為

2

3

．…（13分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面所成角的二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．