Question

在極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2acosθ，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=3t+2 y=4t+2

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）若直線l與圓C相切，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)（a，a），求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）把圓C的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，再利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．
（II）把（a，a）代入4x-3y-2=0．解得a=2．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心C到直線的距離d，再利用弦長(zhǎng)公式直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)=2

r2-d2

即可得出．

解答： 解：（I）由圓C的方程ρ=2acosθ，可得ρ²=2ρa(bǔ)cosθ，化為x²+y²=2ax，配方為（x-a）²+y²=a²．
直線l的參數(shù)方程為

x=3t+2 y=4t+2

（t為參數(shù)），消去參數(shù)化為4x-3y-2=0．
∵直線l與圓C相切，∴

|4a-2|

42+(-3)2

=|a|，解得a=-2或

9

2

．
（II）把（a，a）代入4x-3y-2=0．可得4a-3a-2=0，解得a=2．
此時(shí)圓的方程為（x-2）²+y²=4．
∴圓心C（2，0），半徑r=2．
∴圓心C到直線的距離d=

|8-2|

42+32

=

6

5

．
∴直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)=2

r2-d2

=

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了把圓的極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．