Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面AEF⊥平面PAB．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理可得EF∥BC，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；
（2）根據(jù)PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，結(jié)合∠ABC=90°，及線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，進(jìn)而由線面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．

解答： 證明：（1）∵E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)．
∴EF∥BC，
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又∵PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
由（1）中EF∥BC，
∴EF⊥平面PAB，
又∵EF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAB．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，是空間線面關(guān)系的簡單綜合應(yīng)用，難度中檔．