在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到兩點(diǎn)F1(0,-
3
)
,F(xiàn)2(0,
3
)
的距離之和等于4,動點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線y=kx+1與曲線C交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求k的值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)設(shè)P(x,y),由橢圓定義知,點(diǎn)P的軌跡是以兩點(diǎn)F1(0,-
3
)
,F(xiàn)2(0,
3
)
為焦點(diǎn),a=2的橢圓,由此能求出曲線C的方程.
(2)聯(lián)立
y=kx+1
y2
4
+x2=1
,得(k2+4)x2+2kx-3=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由OA⊥OB,能求出k的值.
解答: 解:(1)設(shè)P(x,y),由橢圓定義知,
點(diǎn)P的軌跡是以兩點(diǎn)F1(0,-
3
)
,F(xiàn)2(0,
3
)
為焦點(diǎn),a=2的橢圓,
∴b2=4-3=1.
∴曲線C的方程為x2+
y2
4
=1

(2)聯(lián)立
y=kx+1
y2
4
+x2=1
,得(k2+4)x2+2kx-3=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-
2k
k2+4
x1x2=-
3
k2+1
,
∵OA⊥OB,∴
OA
OB
=0,
∴x1x2+y1y2=0,
又y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
∴x1x2+y1y2=-
3
k2+4
-
3k2
k2+4
-
2k2
k2+4
+1
=
-4k2+1
k2+4
=0,
解得k=±
1
2
點(diǎn)評:本題考查曲線方程的求法,考查直線的斜率的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量垂直的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
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設(shè)函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,其中x∈(0,+∞),設(shè)t=
x
a
+
b
x

(1)當(dāng)a=1,b=4時(shí),用t表示f(x),并求出f(x)的最小值;
(2)設(shè)k>0,當(dāng)a=k2,b=(k+1)2時(shí),若1≤f(x)≤9對任意x∈[a,b]恒成立,求k的取值范圍.

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π
2
,b=y2-2z+
π
3
,c=z2-2x+
π
6
,求證a,b,c中至少有一個大于0.

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極坐標(biāo)系下,求直線pcos(θ+
π
3
)=1與圓ρ=
2
的公共點(diǎn)個數(shù).

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x2
6
+
y2
4
=1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為M,則線段PM的中點(diǎn)N(x,y)的軌跡方程為
 

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