Question

（2012•九江一模）已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣x3]=2，則方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的區(qū)間是（ ）

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

Answer 1

D

【解析】

試題分析：由題意，可知f（x）﹣x3是定值令t=f（x）﹣x3，得出f（x）=x3+t，再由f（t）=t3+t=2求出t的值即可得出f（x）的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，即可求出f（x）﹣f′（x）=2的解所在的區(qū)間選出正確選項

【解析】
由題意，可知f（x）﹣x3是定值，不妨令t=f（x）﹣x3，則f（x）=x3+t

又f（t）=t3+t=2，整理得（t﹣1）（t2+t+2）=0，解得t=1

所以有f（x）=x3+1

所以f（x）﹣f′（x）=x3+1﹣3x2=2，令F（x）=x3﹣3x2﹣1

可得F（3）=﹣1＜0，F(xiàn)（4）=8＞0，即F（x）=x3﹣3x2﹣1零點在區(qū)間（3，4）內(nèi)

所以f（x）﹣f′（x）=2的解所在的區(qū)間是（3，4）

故選D