【題目】如圖,平面平面,四邊形是全等的等腰梯形,其中,且,點(diǎn)的中點(diǎn),點(diǎn)的中點(diǎn).

(I)請(qǐng)?jiān)趫D中所給的點(diǎn)中找出兩個(gè)點(diǎn),使得這兩個(gè)點(diǎn)所在直線與平面垂直,并給出證明;

(II)求二面角的余弦值;

(III)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?如果存在,求出的長(zhǎng)度,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(I)見解析;(II);(III)見解析.

【解析】試題分析: 法一:向量法,分別以邊, , 所在直線為, , 軸,給出相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo),證明, 法二:先證 接著證明所以 平面最后證得結(jié)果(2)要求二面角的平面角的余弦值就先求得平面的法向量,利用公式即可算出結(jié)果(3)法一:借助向量假設(shè)存在,計(jì)算可得矛盾,故不存在;法二:假設(shè)存在點(diǎn),證得平面平面,即有為平行四邊形,所以,矛盾

解析:法一:向量法

(I), 點(diǎn)為所求的點(diǎn).

證明如下:

因?yàn)樗倪呅?/span>是等腰梯形,點(diǎn)的中點(diǎn),點(diǎn)的中點(diǎn),

所以.

又平面 平面,平面 平面= ,

所以 平面

同理取的中點(diǎn),則 平面.

分別以邊, , 所在直線為, , 軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

,得 , , ,

, .

所以,

所以平面

(II)由(I)知平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為,則

,則

所以

所以

所以二面角的余弦值為

(III)假設(shè)存在點(diǎn),使得 平面.

設(shè)

所以 ,所以

而計(jì)算可得

這與矛盾

所以在線段上不存在點(diǎn),使得 平面

法二:(I)證明如下:

因?yàn)樗倪呅?/span>是等腰梯形,點(diǎn)的中點(diǎn),點(diǎn)的中點(diǎn),

所以

又平面平面,平面平面,

所以 平面

因?yàn)?/span> 平面,所以,

,且,

所以為菱形,所以

因?yàn)?/span>,

所以平面.

(III)假設(shè)存在點(diǎn),使得平面

,所以為平行四邊形,

所以

因?yàn)?/span>平面

所以平面

,所以平面平面

所以平面,所以,

所以為平行四邊形,所以,矛盾

所以不存在點(diǎn),使得平面

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地區(qū)




數(shù)量

50

150

100

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