Question

P（x₀，y₀）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，A、B分別是橢圓的左右頂點，直線PA，PB的斜率之積為-

2

3

．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過橢圓的右焦點且斜率為

2

的直線交橢圓于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點，且x₁＜x₂，O為坐標(biāo)原點，C為橢圓上一點，且

OC

=λ

OM

+

ON

，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意寫出斜率，比較得橢圓的離心率；求出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示C的坐標(biāo)，消參可求出實數(shù)λ的值．

解答： 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），A（-a，0），B（a，0）
則k_PA=

y0

x0+a

k_PB=

y0

x0-a

，由k_PA×k_PB=-

2

3

得

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

2

3

又因為

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，所以

b2

a2

=

2

3

，
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

3

3

．
（2）由（1）a²=3c²，b²=2c²，故橢圓方程為

x2

3c2

+

y2

2c2

=1，與直線y=

2

(x-c)聯(lián)立得
2x²+3×2（y-c）²-6c²=0，即8x²-12cx=0
解得x₁=0，x₂=

3c

2

，y1=-

2

c，y2=

2

2

c，即M（0，-

2

c），N（

3

2

c，

2

2

c）．
設(shè)C（x₃，y₃），又因為

OC

=λ

OM

+

ON

，
所以x₃=

3c

2

，y3=-

2

λc+

2

2

c代入橢圓方程化簡得：λ²-λ=0
解得λ=0或λ=1，
所以實數(shù)λ的值為0或1

點評：本題考查了圓錐曲線與向量，綜合考查了圓錐曲線的相關(guān)知識，同時考查了化簡能力，屬于中檔題．