Question

（1）已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

．若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求實數(shù)a的值．
（2）求證：當1＜x＜2時，不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

恒成立．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′(x)=

x+a

x2

，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的值．
（Ⅱ）由已知得

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

?(x+1)lnx-2(x-1)＞0．令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當1＜x＜2時，不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

恒成立．

解答： （1）解：∵f（x）=lnx-

a

x

，∴f′(x)=

x+a

x2

，
①若a≥-1，則x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，
f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
∴[f(x)]min=f(1)=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

（舍去）．  …（2分）
②若a≤-e，則x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，
f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
∴[f(x)]min=f(e)=1-

a

e

=

3

2

，∴a=-

e

2

（舍去）． …（4分）
③若-e＜a＜-1，當1＜x＜-a時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上為減函數(shù)，

當-a＜x＜e時，f′(x)＞0

，
∴f(x)在(-a，e)上為增函數(shù)，∴a=-

e

，
綜上所述，a=-

e

…（6分）
（Ⅱ）證明：∵1＜x＜2，∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

?(x+1)lnx-2(x-1)＞0．
令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1），（8分）
∴F′（x）=lnx+

x+1

x

-2=lnx+

1

x

-1…（9分）．
∴當x∈[1，2]時，F(xiàn)′（x）≥0，
∴F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴F（x）＞F（1）=0，
∴（x+1）lnx-2（x-1）＞0．
∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

(1＜x＜2)恒成立．  …（12分）

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．