Question

【題目】已知 的內(nèi)切圓切邊于點(diǎn)， 而是邊上的任意內(nèi)點(diǎn).設(shè)和的內(nèi)切圓圓心分別是和.

（1）求證：∠I1DI2 =90°（即、、、四點(diǎn)共圓）；

（2）設(shè)、、、四點(diǎn)所在的圓周的半徑為， 而的內(nèi)切圓半徑為，試求的取值范圍（取遍各種形狀的三角形，點(diǎn)取遍邊上的每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖，聯(lián)結(jié) 、、.由平分及平 分，易 知=90 °.

故只須證明、、 、四點(diǎn)共圓， 而這只須證明.

設(shè)切于點(diǎn)，則.只須證明，

亦只須證明，即. ①

設(shè)切于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則.

由于，故.

從而，.

所以， .

于是，，即. ②

由式①、②可知， 只須證明. ③

欲證式③， 只須證明. ④

由切線長(zhǎng)相等得，

即式④、③確實(shí)成立.

再由式 ②可推出式 ①成立， 從而，，即、、 、四點(diǎn)共圓.

因此，.

（2）由（1）知、、 、四點(diǎn)共圓，，所以，.

顯然，、、三點(diǎn)共線，、、也三點(diǎn)共線，且

.

取的中點(diǎn)，則是、、 、四點(diǎn)所在圓周的圓心，為該圓直徑.由于 ，所以，點(diǎn)必在⊙的內(nèi)部.從而，必不是直徑.

于是，，即.故.

若固定不變，且，當(dāng)，且為的中點(diǎn)，則，即.

若固定不變，當(dāng)且為上的定點(diǎn)，，

（定值），這時(shí)，.

再由幾何圖形變化的連續(xù)性可知，可取遍開區(qū)間內(nèi)的所有值.

綜上可知， 的取值范圍是.