Question

9．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，BC=CC₁=4，D是A₁C₁中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅱ）求點B到平面B₁CD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設BC₁∩B₁C于點E，連DE，利用三角形的中位線性質(zhì)，證明DE∥A₁B，即可證明A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅱ）利用等體積，求點B到平面B₁CD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）設BC₁∩B₁C于點E，連DE，
∵在△A₁BC₁中，D為A₁C₁的中點，E為BC₁的中點，
∴DE∥A₁B，
∵DE?平面B₁CD，A₁B?平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD．
（Ⅱ）解：△B₁CD中，B₁D=CD=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，B₁C=4$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{20-8}$=4$\sqrt{6}$．
設點B到平面B₁CD的距離為h，則$\frac{1}{3}×4\sqrt{6}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×4$，
∴h=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查考查線面平行的證明，考查等體積方法的運用，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．