Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cso2θ+ρ²-8ρsinθ=0，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$．
（1）將曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）曲線C₁與C₂相交于A，B兩點(diǎn)，若P（0，2），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求出曲線的直角坐標(biāo)方程即可；（2）將C₂代入C₁得到關(guān)于t的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出|PA|•|PB|的值即可．

解答 解：（1）ρ²cos2θ+ρ²-8ρsinθ=ρ²cso²θ-ρ²sin²θ+ρ²-8ρsinθ，
∴x²-y²+x²+y²-8y=0，即x²=4y；
（2）P（0，2）在曲線C₂上，又C₂為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$，
代入拋物線方程C₁為：${（\frac{1}{2}t）}^{2}$=4（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），
化簡(jiǎn)得t²-8$\sqrt{3}$t-32=0，
由韋達(dá)定理得$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}{+t}_{2}=8\sqrt{3}}\\{{{t}_{1}t}_{2}=-32}\end{array}\right.$，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，是一道中檔題．