Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₂（ax²-4ax+6）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥log₂3的解集；
（2）若f（x）的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥log₂3，即log₂（x²-4x+6）≥log₂3，根據(jù)真數(shù)大于0，單調(diào)性即可求解．
（2）f（x）的定義域?yàn)镽，即ax²-4ax+6＞0，對(duì)a討論即可求解．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥log₂3，即log₂（x²-4x+6）≥log₂3，
可得x²-4x+6≥3
∴x²-4x+3≥0
解得：x≥3或x≤-1．
∴不等式f（x）≥log₂3的解集為（-∞，-1]∪[3，+∞）．
（2）f（x）的定義域?yàn)镽，即ax²-4ax+6＞0恒成立．
①當(dāng)a≠0時(shí)，得a＞0且△=16a²-24a＜0
解得：$0＜a＜\frac{3}{2}$；
②當(dāng)a=0時(shí)，6＞0恒成立，f（x）的定義域?yàn)镽成立．
綜上得a的取值范圍為[0，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用，計(jì)算，屬于中檔題．