Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線y²=4x與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)，且|PF₂|=$\frac{5}{3}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F₁作直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{A{F_1}}=λ\overrightarrow{{F_1}B}$．若λ∈[1，2]，求△ABF₂面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意即可得出F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），根據(jù)拋物線的定義以及點(diǎn)P在拋物線上即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以求出|PF₁|，從而根據(jù)橢圓的定義可得出a=2，進(jìn)而求出b²=3，這樣即可得出橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）根據(jù)題意可設(shè)l：x=my-1，聯(lián)立橢圓方程并消去x可得到（3m²+4）y²-6my-9=0，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$（1），而由$\overrightarrow{A{F}_{1}}=λ\overrightarrow{{F}_{1}B}$可得到y(tǒng)₁=-λy₂，帶入（1）并消去y₁，y₂可得$\frac{4{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}=λ+\frac{1}{λ}-2$．而由λ的范圍便可求出$λ+\frac{1}{λ}-2$的范圍，從而得出$0≤{m}^{2}≤\frac{4}{5}$，可以得到${S}_{△AB{F}_{2}}=\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，根據(jù)m²的范圍，換元即可求出△ABF₂的面積的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線的定義，得點(diǎn)P到直線x=-1的距離為$\frac{5}{3}$，且點(diǎn)P在拋物線y²=4x上；
∴$P（\frac{2}{3}，\sqrt{\frac{8}{3}}）$；
∴$|P{F}_{1}|=\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+\frac{8}{3}}=\frac{7}{3}$；
∴由橢圓定義得，$2a=\frac{7}{3}+\frac{5}{3}$；
∴a=2；
又a²-b²=1，∴b²=3；
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）據(jù)題意知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線l：x=my-1，代入橢圓方程，消去x得：
（3m²+4）y²-6my-9=0；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6m}{3{m}^{2}+4}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}}\end{array}\right.$（1）；
∵$\overrightarrow{A{F}_{1}}=λ\overrightarrow{{F}_{1}B}$；
∴-y₁=λy₂帶入（1）消去y₁，y₂得：$\frac{4{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}=\frac{（λ-1）^{2}}{λ}$；
∵λ∈[1，2]；
∴$\frac{（λ-1）^{2}}{λ}=λ+\frac{1}{λ}-2∈[0，\frac{1}{2}]$；
∴$0≤\frac{4{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}≤\frac{1}{2}$；
解得$0≤{m}^{2}≤\frac{4}{5}$；
∴${S}_{△AB{F}_{2}}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$；
令$\sqrt{1+{m}^{2}}=t$$∈[1，\frac{3}{\sqrt{5}}]$，則m²=t²-1；
∴${S}_{△AB{F}_{2}}=\frac{12t}{3{t}^{2}+1}=\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$；
∵$3t+\frac{1}{t}∈[4，\frac{32\sqrt{5}}{15}]$；
∴$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}∈[\frac{9\sqrt{5}}{8}，3]$；
∴△ABF₂面積的取值范圍為$[\frac{9\sqrt{5}}{8}，3]$．

點(diǎn)評(píng) 考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及拋物線和橢圓的定義，過定點(diǎn)斜率不為0直線方程的設(shè)法，韋達(dá)定理，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，三角形的面積公式，需清楚函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$的單調(diào)性的判斷．