Question

9．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，過右焦點(diǎn)F₂的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，若△PQF₁的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2$\sqrt{3}$倍．
（Ⅰ）求C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)l的斜率為1，在C上是否存在一點(diǎn)M，使得$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，過右焦點(diǎn)F₂的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，△PQF₁的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2$\sqrt{3}$倍，得到$a=\sqrt{3}b$，由此能求出橢圓C的離心率．
（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為${x^2}+3{y^2}=\frac{3}{2}{c^2}$，直線的方程為y=x-c，代入橢圓方程得$4{x^2}-6cx+\frac{3}{2}{c^2}=0$，由此利用韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)、向量知識(shí)，結(jié)合已知條件能求出不存在點(diǎn)M，使$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$成立．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，過右焦點(diǎn)F₂的直線l與C相交于P、Q兩點(diǎn)，
△PQF₁的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2$\sqrt{3}$倍，△PQF₁的周長(zhǎng)為4a…（2分）
∴依題意知$4a=4\sqrt{3}b$，即$a=\sqrt{3}b$…（3分）
∴C的離心率$e=\sqrt{1-{{（\frac{a}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（4分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為${x^2}+3{y^2}=\frac{3}{2}{c^2}$，直線的方程為y=x-c，
代入橢圓方程得$4{x^2}-6cx+\frac{3}{2}{c^2}=0$…（5分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}c$，${x_1}{x_2}=\frac{3}{8}{c^2}$…（6分）
設(shè)M（x₀，y₀），則$x_0^2+3y_0^2=\frac{3}{2}{c^2}$①…（7分）
由$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2{x_1}+{x_2}\\{y_0}=2{y_1}+{y_2}\end{array}\right.$…（8分）
代入①得$4（x_1^2+3y_1^2）+x_2^2+3y_2^2+4（{x_1}{x_2}+3{y_1}{y_2}）=\frac{3}{2}{c^2}$…（9分）
因?yàn)?x_1^2+3y_1^2=\frac{3}{2}{c^2}$，$x_2^2+3y_2^2=\frac{3}{2}{c^2}$，
所以$\frac{3}{2}{c^2}+（{x_1}{x_2}+3{y_1}{y_2}）=0$②…（10分）
而${x_1}{x_2}+3{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+3（{x_1}-c）（{x_2}-c）=4{x_1}{x_2}-3c（{x_1}+{x_2}）+3{c^2}=0$…（11分）
從而②式不成立．
故不存在點(diǎn)M，使$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}$成立…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)、向量知識(shí)的合理運(yùn)用．