Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=3n-n²，n∈N^*．
（Ⅰ）求通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2ⁿ，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

．能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，則cn=(4-2n)•2n，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=3n-n²，n∈N^*，
∴a₁=S₁=3-1=2，
當(dāng)n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1
=（3n-n²）-[3（n-1）-（n-1）²]
=4-2n．
當(dāng)n=1時，4-2n=2=a₁，
∴a_n=4-2n，n∈N^*．
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，
∵an=4-2n，bn=2n，
∴cn=(4-2n)•2n，
∴T_n=2•2+0•2²+（-2）•2³+（-4）•2⁴+…+（4-2n）•2ⁿ，①
2Tn=2•22+0•2³+（-2）•2⁴+…+（4-2n）•2ⁿ⁺¹，②
②-①，得：
T_n=-2•2+2•2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2ⁿ+（4-2n）•2ⁿ⁺¹
=-4+

8(1-2n-1)

1-2

+（4-2n）•2ⁿ⁺¹
=-4+2ⁿ⁺²-8+2ⁿ⁺³-n•2ⁿ⁺²
=（3-n）•2ⁿ⁺²-12．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．