已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．

（1）求橢圓及動圓圓心軌跡的方程；

（2） 在曲線上有兩點、，橢圓上有兩點、，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

【答案】

（1），

（2）四邊形PMQN面積的最小值為8

【解析】

試題分析：解：（1）（ⅰ）由已知可得，

則所求橢圓方程.　　　　       3分

（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為，準線方程為，則動圓圓心軌跡方程為.               5分

（2）當直線MN的斜率不存在時，，此時PQ的長即為橢圓長軸長，

從而            6分

設直線MN的斜率為k，則k≠0，直線MN的方程為：，

直線PQ的方程為

設

由，消去可得---8分

由拋物線定義可知：

9分

由消去得，

從而                 10分

∴

令，∵則

則

=，所以=＞8           11分

所以四邊形PMQN面積的最小值為8                                  12分

考點：橢圓方程，軌跡方程

點評：主要是考查了軌跡方程的求解，以及聯(lián)立方程組結合韋達定理來求解面積，屬于基礎題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知以F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）為焦點的橢圓與直線x+
3
y+4=0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（　�。�
A、3
2
B、2
6
C、2
7
D、4
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的長軸長為2a，焦點是F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，點F1到直線x=-
a2
3
的距離為
3
3
，過點F2且傾斜角為銳角的直線l與橢圓交于A，B兩點，使得
BF2
=3
F2A
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

根據(jù)下列條件求橢圓或雙曲線的標準方程．
（Ⅰ）已知橢圓的長軸長為6，一個焦點為（2，0），求該橢圓的標準方程．
（Ⅱ）已知雙曲線過點P(
5
，
1
2
)，漸近線方程為x±2y=0，且焦點在x軸上，求該雙曲線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
已知橢圓的長軸長為6，焦距F1F2=4
2
，過橢圓左焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M、N，設∠F2F1M=α（0≤α＜π），當α為何值時，MN與橢圓短軸長相等？（用極坐標或參數(shù)方程方程求解）

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科目：高中數(shù)學 來源：黑龍江省大慶鐵人中學2012屆高三上學期期末考試數(shù)學理科試題 題型：044

已知橢圓的長軸長為4，且點在橢圓上．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過橢圓右焦點的直線l交橢圓于A，B兩點，若以AB為直徑的圓過原點，求直線l方程．

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