Question

已知函數(shù)f（x）=kx-

k

x

-2lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為2x+5y-2=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定k的取值，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)恒成立王廷江，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，
可知f′(1)=2k-2=-

2

5

，得k=

4

5

，
∴f′(x)=

4x2-10x+4

5x2

=

2(2x-1)(x-2)

5x2

，
∵f（x）的定義域是（0，+∞），
故由f'（x）＞0得0＜x＜

1

2

，或x＞2，由f'（x）＜0得

1

2

＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(0，

1

2

)，(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(

1

2

，2)．
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的定義域為函數(shù)（0，+∞），要使函數(shù)函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，
只需函數(shù)f'（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）恒成立．
即kx²-2x+k≥0在區(qū)間（0，+∞）恒成立．即k≥

2x

x2+1

在區(qū)間（0，+∞）恒成立．
令g(x)=

2x

x2+1

，x∈（0，+∞），g(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
∴k≥1．實數(shù)k的范圍[1，+∞）．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題．