Question

已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂），則（　　）

• A、f（x₂）＜

  1-2ln2

  4

• B、f（x₂）＞

  1-2lnx

  4

• C、f（x₂）＞

  2ln2+3

  8

• D、f（x₂）＜

  3ln2+4

  8

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：x₂是方程g（x）=0的根，將a用x₂表示，消去a得到關(guān)于x₂的函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x²+aln（1+x），
∴f′（x）=

2x2+2x+a

1+x

（x＞-1）
令g（x）=2x²+2x+a，則g（0）=a＞0，∴-

1

2

＜x₂＜0，a=-（2x²₂+2x₂），
∴f（x₂）=x₂²+aln（1+x₂）=x₂²-（2x²₂+2x₂）ln（1+x₂）．
設(shè)h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-

1

2

，
則h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
（1）當(dāng)x∈（-

1

2

，0）時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）在[-

1

2

，0）單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
∴x∈（-

1

2

，0），h（x）＞h（-

1

2

）=

1-2ln2

4

；
故f（x₂）=h（x₂）＞

1-2ln2

4

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．