Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問(wèn)線(xiàn)段A₁B₁上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連接OD．
由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點(diǎn)．
又D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A₁BC中位線(xiàn)，
所以A₁B∥OD，
因?yàn)镺D?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁兩兩垂直．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz．設(shè)BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．
所以

AD

=(1，-2，0)，

AC1

=(2，-2，1)
設(shè)平面ADC₁的法向量為

n

=（x，y，z），則有

n • AD =0 n • AC1 =0

所以

x-2y=0 2x-2y+z=0.

取y=1，得

n

=（2，1，-2）．
平面ADC的法向量為

v

=（0，0，1）．
由二面角C₁-AD-C是銳角，得cos＜

n

，

v

＞=

| n • v |

| n || v |

=

2

3

．…（8分）
所以二面角C₁-AD-C的余弦值為

2

3

．
（Ⅲ）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E．
因?yàn)镋在線(xiàn)段A₁B₁上，A₁（0，2，1），B₁（0，0，1），故可設(shè)E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．
所以

AE

=(0，λ-2，1)，

DC1

=(1，0，1)．
因?yàn)锳E與DC₁成60°角，所以|

AE • DC1

| AE || DC1 |

|=

1

2

．
即|

1

(λ-2)2+1 • 2

|=

1

2

，解得λ=1，舍去λ=3．
所以當(dāng)點(diǎn)E為線(xiàn)段A₁B₁中點(diǎn)時(shí)，AE與DC₁成60°角．…（12分）