Question

9．△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的變分別是a，b，c．
（Ⅰ）求證：acosB+bcosA=c；
（Ⅱ）已知（2c-b）cosA=acosB，且b=1，c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用正弦定理把a(bǔ)和b的表達(dá)式代入acosB+bcosA中，利用了兩角和公式化簡整理，求得acosB+bcosA=2RsinC，進(jìn)而把2RsinC轉(zhuǎn)化成邊，原式得證．
（Ⅱ）利用正弦定理化簡已知等式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右，
原式得證．
（Ⅱ）由（2c-b）cosA=acosB及正弦定理得（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
得2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A為三角形的內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵b=1，c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．