Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+bx+1的圖象在x=1處的切線l過點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）-（a-1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；
（2）若a=-4，f（x₁）+f（x₂）+x₁+x₂+3x₁x₂=2，證明：x₁+x₂≥$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，運用斜率公式，化簡可得b=0，得到f（x）和g（x）的解析式，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最大值；
（2）求得f（x）的解析式，由條件化簡可得2（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），令t=x₁x₂，t＞0，設h（t）=t-lnt，求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得h（t）的最小值，進而運用因式分解，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+bx+1的導數(shù)為：
f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+b，
可得圖象在x=1處的切線l的斜率為k=1-a+b，
切點為（1，1+b-$\frac{1}{2}$a），
由切線經(jīng)過點（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
可得1-a+b=$\frac{1+b-\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$，
化簡可得，b=0，
則f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+1，g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+1-（a-1）x（x＞0，a＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-（a-1）=-$\frac{（x+1）（ax-1）}{x}$，
當0＜x＜$\frac{1}{a}$時，g′（x）＞0，g（x）遞增；當x＞$\frac{1}{a}$時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
可得g（x）_max=g（$\frac{1}{a}$）=-lna-$\frac{1}{2a}$+1-1+$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2a}$-lna；
（2）證明：a=-4時，f（x）=lnx+2x²+1，
f（x₁）+f（x₂）+x₁+x₂+3x₁x₂=2，
可得lnx₁+2x₁²+1+lnx₂+2x₂²+1+x₁+x₂+3x₁x₂=2，
化為2（x₁²+x₂²+2x₁x₂）+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），
即有2（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），
令t=x₁x₂，t＞0，設h（t）=t-lnt，
h′（t）=1-$\frac{1}{t}$，當t＞1時，h′（t）＞0，h（t）遞增；當0＜t＜1時，h′（t）＜0，h（t）遞減．
即有h（t）在t=1取得最小值1，
則2（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）≥1，
可得（x₁+x₂+1）（2x₁+2x₂-1）≥0，
則2x₁+2x₂-1≥0，
可得x₁+x₂≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用轉(zhuǎn)化和變形，以及構(gòu)造函數(shù)的方法，考查運算能力，屬于難題．