Question

9．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的x₁，x₂∈[1，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）都有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題等價于在定義域[1，e]內(nèi)有f（x）_min≥g（x）_max，通過討論a的范圍分別求出f（x），g（x）的最值，求出a的范圍即可．

解答 解：（I）當(dāng)a=2時，$f（x）=x+\frac{4}{x}$（x≠0），
令$f'（x）=1-\frac{4}{x^2}＜0$，解得-2＜x＜0或0＜x＜2，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，0），（0，2）…（4分）
（ II）對任意的x₁，x₂∈[1，e]都有f（x₁）≥g（x₂）成立
等價于在定義域[1，e]內(nèi)有f（x）_min≥g（x）_max，
當(dāng)x∈[1，e]時，$g'（x）=1+\frac{1}{x}＞0$，
∴函數(shù)g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函數(shù)，
∴g（x）_max=g（e）=e+1…（6分）
∵$f'（x）=1-\frac{a^2}{x^2}=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}$，且x∈[1，e]，a＞0．
①當(dāng)0＜a≤1且x∈[1，e]時，$f'（x）=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}≥0$（僅在x=1且a=1時取等號），
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，e]上是增函數(shù)，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=1+{a^2}$．
由1+a²≥e+1，得$a≥\sqrt{e}$，
又0＜a＜1，∴$a≥\sqrt{e}$不合題意．
②當(dāng)1＜a＜e時，
若1＜x＜a，則$f'（x）=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}＜0$，
若a＜x＜e，則$f'（x）=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}＞0$．
∴函數(shù)f（x）在[1，a）上是減函數(shù)，在（a，e]上是增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得$a≥\frac{e+1}{2}$，
又1＜a＜e，∴$\frac{e+1}{2}≤a＜e$．
③當(dāng)a≥e且x∈[1，e]時，$f'（x）=\frac{（x+a）（x-a）}{x^2}≤0$，（僅在x=e且a=e時取等號）
∴函數(shù)$f（x）=x+\frac{a^2}{x}$在[1，e]上是減函數(shù)．
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=e+\frac{a^2}{e}$．
由$e+\frac{a^2}{e}≥e+1$，得$a≥\sqrt{e}$，
又a≥e，∴a≥e．
綜上所述：$a∈[\frac{e+1}{2}，+∞）$…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．