Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₃=a₆，S₈=S₅+21．
（1）求S_n的表達式；
（2）求證

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

…+

1

Sn

＜2（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的條件，建立方程組求出首項和公差，即可求S_n的表達式；
（2）利用裂項法求出

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

…+

1

Sn

的值，即可證明不等式．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由已知得

3a1+3d=a1+5d 8a1+28d=(5a1+10d)+21

，
即

a1=d a1+6d=7

，解得a₁=d=1．
故Sn=

n(n+1)

2

．
（2）因為

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
所以Tn=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)＜2．

點評：本題主要考查等差數(shù)列前n項和的計算，以及利用裂項法去證明不等式．