Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M的方程為（x-4）²+y²=1．以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系取相同的單位長度，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

6

）=

1

2

．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標(biāo)方程和圓M的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求圓M上的點到直線l的距離的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）求直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再把圓M的直角坐標(biāo)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化為參數(shù)方程．
（Ⅱ）設(shè)M（4+cosφ，sinφ），求得點M到直線l的距離，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得它的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由ρsin(θ+

π

6

)=

1

2

，得ρ(sinθcos

π

6

+cosθsin

π

6

)=

1

2

，
∴

1

2

x+

3

2

y=

1

2

，即x+

3

y-1=0．
∵圓M的方程為（x-4）²+y²=1，設(shè)

x-4=cosφ y=sinφ

，∴

x=4+cosφ y=sinφ

．
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x+

3

y-1=0，
圓M的參數(shù)方程

x=4+cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)）．
（Ⅱ）設(shè)M（4+cosφ，sinφ），則點M到直線l的距離為d=

|4+cosφ+ 3 sinφ-1|

2

=

3+2sin(φ+ π 6 )

2

，
∴當(dāng)sin(φ+

π

6

)=-1，即φ=-

2π

3

+2kπ(k∈Z)時，dmin=

1

2

．
圓M上的點到直線l的距離的最小值為

1

2

．…（7分）

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題