Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=

2

x

+f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再通過討論a的范圍，從而求出其單調(diào)區(qū)間，（Ⅱ）由g（x）=

2

x

+x²+2aln x得g′（x）=-

2

x2

+2x+

2a

x

，建立新函數(shù)，求出其最小值，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．     
①當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)a＜0時，f′（x）=

2(x+ -a )(x- -a )

x

，
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0， -a ）	-a	（ -a ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

由上表可知，函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

-a

）；
單調(diào)遞增區(qū)間是（

-a

，+∞）．     …（7分）
（Ⅱ）由g（x）=

2

x

+x²+2aln x得g′（x）=-

2

x2

+2x+

2a

x

，
由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調(diào)減函數(shù)，則g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．即a≤

1

x

-x²在[1，2]上恒成立． 
令h（x）=

1

x

-x²，在[1，2]上h′（x）=-

1

x2

-2x=-（

1

x2

+2x）＜0，
所以h（x）在[1，2]上為減函數(shù)，h （x）_min=h （2）=-

7

2

，所以a≤-

7

2

．
故實數(shù)a的取值范圍為{a|a≤-

7

2

}．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合題．