Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（x）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，分a＞1和0＜a＜1，構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分a＞1和0＜a＜1，得到單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）＞1，即log_a（a^x-1）＞1，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論，可得相應(yīng)的滿足條件的x的取值范圍．

解答 解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義必須a^x-1＞0時(shí)，即a^x＞1，
①若a＞1，則x＞0，
②若0＜a＜1，則x＜0，
∴a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x＞0}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)當(dāng)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋簕x|x＜0}；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，增區(qū)間為（-∞，0）；
（3）f（x）＞1，即log_a（a^x-1）＞1，
①當(dāng)a＞1，則x＞0，且a^x-1＞a，
∴x＞log_a（a+1）；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，則x＜0，且a^x-1＜a，
log_a（a+1）＜x＜0，
∴綜上當(dāng)a＞1時(shí)，x的取值范圍是（log_a（a+1），+∞），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍是（log_a（a+1），0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的定義域，分類討論思想，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．