Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$ （α∈R，α為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的普通方程，并把其化為極坐標(biāo)方程（要求化為ρ=f（θ）的形式）；
（2）點A，B在曲線C上，且∠AOB=90°，求$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用同角的平方關(guān)系，可得曲線C的普通方程；再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入普通方程，可得極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），代入極坐標(biāo)方程，由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，借助正弦函數(shù)的值域即可得到所求范圍．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$ （α∈R，α為參數(shù)），
由cos²α+sin²α=1，可得曲線C的普通方程為$\frac{（x-1）^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得3（ρcosθ-1）²+4ρ²sin²θ=12，
ρ²（3+sin²θ）-6ρcosθ-9=0，
解得ρ=$\frac{6cosθ±12}{2（3+si{n}^{2}θ）}$，
即有ρ=$\frac{3cosθ+6}{3+si{n}^{2}θ}$=$\frac{3（2+cosθ）}{4-co{s}^{2}θ}$=$\frac{3}{2-cosθ}$；
（2）點A，B在曲線C上，且∠AOB=90°，可設(shè)
A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ-$\frac{π}{2}$），
則$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{1}{{ρ}_{1}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}}$=$\frac{2-cosθ}{3}$+$\frac{2-cos（θ-\frac{π}{2}）}{3}$
=$\frac{4-（sinθ+cosθ）}{3}$=$\frac{4-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}{3}$，
當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{4}$）=1時，上式取得最小值$\frac{4-\sqrt{2}}{3}$；
當(dāng)sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1時，上式取得最大值$\frac{4+\sqrt{2}}{3}$．
故$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$的取值范圍是[$\frac{4-\sqrt{2}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{2}}{3}$]．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，注意運用同角的平方關(guān)系和極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，考查兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域的運用，考查運算能力，屬于中檔題．