Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x^3}{3}$+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為x₁，x₂，若x₁∈（-2，1），x₂∈（1，2），則2a-b的取值范圍是（　�。�

• A． （-7，3）
• B． （-5，2）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是x₁，x₂，x₁∈（-2，1），x₂∈（1，2），建立不等式，利用平面區(qū)域，即可求2a-b的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x^3}{3}$+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x₁，x₂，
∴f′（x）=x²+ax+2b=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，
∵x₁，x₂分別在區(qū)間（-2，1）與（1，2）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）＞0}\\{f′（2）＞0}\\{f′（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-b＜2}\\{a+b＞-2}\\{a+2b＜-1}\end{array}\right.$，
畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{a-b=2}\\{a+2b=-1}\end{array}\right.$，解得：A（1，-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-2}\\{a+2b=-1}\end{array}\right.$，解得：B（-3，1），
令z=2a-b得：b=2a-z，
結(jié)合圖象直線b=2a-z過A（1，-1）時(shí)，z最大，最大值是3，
直線b=2a-z過B（-3，1）時(shí)，z最小，最小值是-7，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查平面區(qū)域的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．