Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a+1）lnx．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）當a=4時，證明：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立；
（Ⅲ）若-1＜a＜3，證明：對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1成立．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)求導公式和法則求出函數(shù)的導數(shù)，再求出切線的斜率，由導數(shù)的幾何意義列出方程求出a的值；
（II）對導函數(shù)進行化簡，再把條件轉(zhuǎn)化為證明“f′（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立”；
（III）利用分析法找思路，根據(jù)斜率公式將結(jié)論轉(zhuǎn)化為“函數(shù)f（x）曲線上任意兩點確定的割線斜率k＞1”，再轉(zhuǎn)化為“在任一點處的切線斜率k＞1”，即轉(zhuǎn)化為x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，再把不等式化簡后，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再由條件和二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，化簡后根據(jù)a的范圍判斷符號即可．

解答 解：（I）由題意得，f′（x）=x-a+$\frac{a+1}{x}$，
∵在點（2，f（2））處的切線與直線2x+3y+1=0垂直，
∴在點（2，f（2））處的切線的斜率是$\frac{3}{2}$，即f′（2）=2-a+$\frac{a+1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
解得a=2；
（II）證明：由（I）知，f′（x）=x-a+$\frac{a+1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+a+1}{x}$，且x＞0，
a=4，即有f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+5}{x}$，
當x＞0時，x²-4x+5＞0恒成立，即有f′（x）＞0成立，
即有f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立；
（III）證明：“$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1”的幾何意義是函數(shù)f（x）曲線上任意兩點確定的割線斜率k＞1，
即在任一點處的切線斜率k＞1，
即證當-1＜a＜3時，對x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a+1}{x}$＞1，且x＞0，
即x²-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，
設(shè)h（x）=x²-（a+1）x+a+1＞0，且對稱軸x=$\frac{a+1}{2}$，
由-1＜a＜3得，0＜$\frac{a+1}{2}$＜2，
則h（x）_min=h（$\frac{a+1}{2}$）=（$\frac{a+1}{2}$）²-（a+1）•$\frac{a+1}{2}$+a+1=-$\frac{（a+1）（a-3）}{4}$，
由-1＜a＜3得，-$\frac{（a+1）（a-3）}{4}$＞0，
故結(jié)論得證．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及證明不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問題等，考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)方法．