Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x|+|x+1|．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞3；
（2）若?x∈R，使得m²+3m+2f（x）≥0成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；
（2）求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為m²+3m+2≥0，解出即可．

解答 解：（1）由|x|+|x+1|＞3，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+x+1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜0}\\{-x+x+1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x-x-1＞3}\end{array}\right.$，
解得：x＞1或x＜-2，
故不等式的解集是{x|x＞1或x＜-2}；
（2）若?x∈R，使得m²+3m+2f（x）≥0成立，
而f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥0}\\{1，-1＜x＜0}\\{-2x-1，x≤-1}\end{array}\right.$，故f（x）的最小值是1，
故只需m²+3m+2≥0即可，
解得：m≥-1或m≤-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查絕對(duì)值的意義，是一道中檔題．