Question

f（x）=2sinωxcosωx-2cos²ωx（x∈R，ω＞0），相鄰兩對稱軸距離為

π

2

，求：
（1）f（

π

4

）；
（2）x∈[0，

π

2

]，f（x）單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（I）利用二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡，根據(jù)周期公式求ω的值，從而可求f（x），進而可求f（

π

4

）
（Ⅱ）由（I）中函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的最值及取得最值的條件

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx-cos2ωx-1=

2

sin（2ωx-

π

4

）-1．
因為

T

2

=

π

2

，所以T=π，ω=1．（3分）
所以f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1．
所以f（

π

4

）=0（7分）
（Ⅱ）f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1
當x∈[0，

π

2

]時，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，（9分）
∴令-

π

4

≤2x-

π

4

≤

π

2

可解得0≤x≤

3π

8

，
所以x∈[0，

π

2

]時，f（x）單調(diào)增區(qū)間是[0，

3π

8

]．（12分）

點評：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式把不同名的三角函數(shù)含為一個角的三角函數(shù)，進而研究三角函數(shù)的性質(zhì)：周期性及周期公式，函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．