求證：x＞1時(shí)，
1
lnx
-
1
x-1
＜
1
2
．
考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：把要證的不等式轉(zhuǎn)化為證lnx＞
2(x-1)
x+1
，夠造函數(shù)g（x）=lnx-
2(x-1)
x+1
，然后利用導(dǎo)數(shù)即可證得答案．
解答： 證明：當(dāng)x＞1時(shí)，要證
1
lnx
-
1
x-1
＜
1
2
，即證
1
lnx
＜
1
2
+
1
x-1
=
x+1
2(x-1)
，
也就是證：lnx＞
2(x-1)
x+1
．
構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-
2(x-1)
x+1
，
則g′(x)=
1
x
-
2(x+1)-2x+2
(x+1)2
=
x2+2x+1-4x
x(x+1)2
=
(x-1)2
x(x+1)2
＞0．
∴函數(shù)g（x）=lnx-
2(x-1)
x+1
為（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）=lnx-
2(x-1)
x+1
＞0．
∴lnx＞
2(x-1)
x+1
．
即x＞1時(shí)，
1
lnx
-
1
x-1
＜
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了函數(shù)構(gòu)造法，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
1
2
anan+1（n∈N+），其中a1=1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）試求所有的正整數(shù)m，使得
am+1am+2
am
為數(shù)列{Sn}中的項(xiàng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

a、b是常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程x2+（a+b）x+3+
ab
2
=0有實(shí)數(shù)解記為事件A，
（1）若a∈{1，2，3，4}，b∈{2，3，4，5}，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a+b≤6且-6≤a-b≤6，求P（A）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于任意空間向量
a
=（a1，a2，a3），
b
=（b1，b2，b3），給出下列三個(gè)命題：
①
a
∥
b
?
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
；
②若a1=a2=a3=1．則
a
為單位向量；
③
a
⊥
b
?a1b1+a2b2+a3b3=0．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)x≥0，則函數(shù)y=
(x+5)(x+2)
x+1
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

f（x）=2sinωxcosωx-2cos2ωx（x∈R，ω＞0），相鄰兩對(duì)稱軸距離為
π
2
，求：
（1）f（
π
4
）；
（2）x∈[0，
π
2
]，f（x）單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l過(guò)點(diǎn)P（3，0）在下列條件下求直線方程：
（1）l過(guò)直線m：2x-y-2=0與直線n：x+y+3=0的交點(diǎn)；
（2）l被圓C：x2+y2-4x-4y=0所截得的弦長(zhǎng)為2
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知一正方形的兩頂點(diǎn)為雙曲線C的兩焦點(diǎn)，若另外兩個(gè)項(xiàng)點(diǎn)在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率e=（　　）
A、
5
+1
2
B、
2
2
+1
2
C、
3
+1
D、
2
+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=4acosx•sin（x-
π
3
）+
3
a+b，設(shè)x∈[0.
π
2
]，f（x）的最小值是-2，最大值是
3
，求實(shí)數(shù)a，b的值．

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