Question

已知函數f（x）=ax+

a

x

-3lnx．
（1）當a=2時，求函數f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[2，e]上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=2時，f（x）=2x+

2

x

-3lnx，定義域為（0，+∞），f′（x）=

2x2-3x-2

x2

，令f′（x）=0，求出單調區(qū)間，從而求出函數的最小值；
（2）由于f′（x）=a-

a

x2

-

3

x

，所以由題意知，f′（x）≥0在[2，e]上恒成立，得a≥

3x

x2-1

．令g（x）=

3x

x2-1

，而g（x）=

-3-3x2

(x2-1)2

，當x∈[2，e]時g′（x）＜0，得g（x）在[2，e]上遞減，故g（x）在[2，e]上的最大值為g（2）=2，因此要使a≥

3x

x2-1

恒成立，應有a≥2．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=2x+

2

x

-3lnx，定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

2x2-3x-2

x2

，令f′（x）=0，得x=2（x=-

1

2

舍去），
當x變化時，f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

所以函數f（x）在x=2時取得極小值，同時也是函數在定義域上的最小值f（2）=5-3ln2．
（2）由于f′（x）=a-

a

x2

-

3

x

，所以由題意知，f′（x）≥0在[2，e]上恒成立．
∴ax²-3x-a≥0在[2，e]上恒成立，即a≥

3x

x2-1

．
令g（x）=

3x

x2-1

，而g（x）=

-3-3x2

(x2-1)2

，當x∈[2，e]時g′（x）＜0，
∴g（x）在[2，e]上遞減，故g（x）在[2，e]上的最大值為g（2）=2，
因此要使a≥

3x

x2-1

恒成立，應有a≥2．

點評：本題考察了函數的單調性，函數的最值問題，導數的應用，是一道綜合題．