Question

已知矩陣M=

2 a 2 1

，其中a∈R，若點(diǎn)P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P（-4，0）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用矩陣的乘法，可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．

解答： 解：（Ⅰ）由

2 a 2 1

1 -2

=

-4 0

，∴2-2a=-4，
∴a=3．---------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知M=

2 3 2 1

，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ+1）（λ-4），
令f（λ）=0，可求得特征值為λ₁=-1，λ₂=4，
設(shè)λ₁=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=

x y

，
則由λ₁α=Mα，得x+y=0，可令x=1，則y=-1，
∴矩陣M的一個(gè)特征值λ₁=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

1 -1

，
同理可得矩陣M的一個(gè)特征值λ₂=4對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為

3 2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查矩陣與變換、矩陣的特征值與特征向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．