Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2x-2ln（1+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，是否存在整數(shù)m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立？若存在，求整數(shù)m的值；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由1+x＞0得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），得f′(x)=2x+2-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

．從而函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0）；
（2）由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，e-1]上單調(diào)遞增，得x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，f(x)max=e2-3．由m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立，

-1≤m≤3 m＜0

⇒-1≤m＜0，從而m=-1，問(wèn)題解決．

解答： 解：（1）由1+x＞0得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
∴f′(x)=2x+2-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

．
由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，0）；
（2）由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上單調(diào)遞減，在[0，e-1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=0，
又f(

1

e

-1)=

1

e2

+1，f(e-1)=e2-3，且e2-3＞

1

e2

+1，
∴x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，f(x)max=e2-3．
∵m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立，

∴ -m2+2m+e2≥f(x)max m＜f(x)min

，
即

-m2+2m+e2≥e2-3 m＜0

⇒

m2-2m-3≤0 m＜0

⇒

-1≤m≤3 m＜0

⇒-1≤m＜0，
∵m是整數(shù)，∴m=-1，
∴存在整數(shù)m=-1，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．