Question

17．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*）．b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，數(shù)列{b_n}前n項和為T_n．
（1）求證：{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），變形為a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），a₁+2=3，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式可得：T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$化為：（-1）ⁿλ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，通過分類討論利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．
（3）3ⁿ=（2+1）ⁿ=2ⁿ+${∁}_{n}^{1}$×2+${∁}_{n}^{2}×{2}^{2}$+…+1，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2（n-1）n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．再利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），a₁+2=3．∴{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列，公比為3，首項為3．
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，∴a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）解：∵b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，∴數(shù)列{b_n}前n項和為T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．
不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$化為：（-1）ⁿλ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，化為：-λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，∴-λ＜2，解得λ＞-2．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，化為：λ＜4-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$，∴λ＜32．
∵不等式（-1）ⁿλ＜T_n+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$對一切n∈N^*恒成立，∴-2＜λ＜3．
（3）證明：∵3ⁿ=（2+1）ⁿ=2ⁿ+${∁}_{n}^{1}$×2+${∁}_{n}^{2}×{2}^{2}$+…+1．
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$≤$\frac{1}{2{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2（n-1）n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$（n≥2）．
∴對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=1+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}）$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$．
∴對一切正整數(shù)n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性、二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．