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13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,橢圓長軸長是短軸長的3倍,短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為523
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知動直線y=k(x+1)與橢圓C相交與A,B兩點,若線段AB的中點的橫坐標為-12,求斜率k的值.

分析 (1)利用已知條件列出方程組求解橢圓的幾何量,即可得到橢圓的方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=k(x+1)代入橢圓方程,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,利用判別式以及韋達定理,結(jié)合中點坐標,求解即可.

解答 (本題滿分12分)
解:(1)由已知得{a2=b2+c23b=a12×b×2c=523{a2=5b2=53,所以橢圓的標準方程為x25+y253=1.--------(6分)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=k(x+1)代入橢圓方程,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0.(8分)△=36k441+3k23k25=48k2+200x1+x2=6k21+3k2.--------------------(10分)
因為AB中點的橫坐標為12,所以3k21+3k2=12,解得k=±33.---------------------(12分)

點評 本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,橢圓方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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(2)若函數(shù)y=log8(x+2),x∈[0,t]具有性質(zhì)M,求t的值;
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