13.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)中,橢圓長軸長是短軸長的$\sqrt{3}$倍,短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為$\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知動直線y=k(x+1)與橢圓C相交與A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$,求斜率k的值.

分析 (1)利用已知條件列出方程組求解橢圓的幾何量,即可得到橢圓的方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=k(x+1)代入橢圓方程,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0,利用判別式以及韋達(dá)定理,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo),求解即可.

解答 (本題滿分12分)
解:(1)由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{\sqrt{3}b=a}\\{\frac{1}{2}×b×2c=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=5}\\{{b^2}=\frac{5}{3}}\end{array}}\right.$,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{{\frac{5}{3}}}=1$.--------(6分)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=k(x+1)代入橢圓方程,整理得(1+3k2)x2+6k2x+3k2-5=0.(8分)$△=36{k^4}-4({1+3{k^2}})({3{k^2}-5})=48{k^2}+20>0,{x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$.--------------------(10分)
因為AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$-\frac{1}{2}$,所以$-\frac{{3{k^2}}}{{1+3{k^2}}}=-\frac{1}{2}$,解得$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.---------------------(12分)

點(diǎn)評 本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,橢圓方程的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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(1)判斷函數(shù)y=2x和y=log2x是否具有性質(zhì)M,說明理由;
(2)若函數(shù)y=log8(x+2),x∈[0,t]具有性質(zhì)M,求t的值;
(3)若函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+ax+9}}{{{x^2}-ax+9}}$(a≠0)在實數(shù)集R上具有性質(zhì)M,求a的取值范圍.

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(2)當(dāng)$x∈[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$時,恒有f(x)>0,求實數(shù)a的取值范圍.

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2.若變量x,y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤2\\ x≥a.\end{array}\right.$且目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值是最小值的2倍,則a的值是(  )
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3.如圖,在△ABC中,AB=AC=2,BC=$\sqrt{2}$,且A在平面α上,B、C在平面α的同側(cè),M為BC的中點(diǎn),若△ABC在平面α上的射影是以A為直角頂點(diǎn)的△AB′C′,則AM與平面α所成角的正弦值的取值范圍是( 。
A.[$\frac{\sqrt{42}}{7}$,1)B.[$\frac{\sqrt{42}}{7}$,1]C.[$\frac{\sqrt{42}}{7}$,$\frac{\sqrt{14}}{4}$]D.[$\frac{\sqrt{42}}{7}$,$\frac{\sqrt{14}}{4}$)

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