Question

（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐O―ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，  OA = 2，M為OA的中點。

（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大�。�

（Ⅱ）求點B到面OCD的距離。

 

Answer 1

本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系、異面直線所成角及點到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。

解：方法一（綜合法）

（Ⅰ）∵CD∥AB，

∴∠MDC為異面直線AB與MD所成角（或其補角）

作AP⊥CD于點P，連接MP

∵OA⊥底面ABCD，∴CD⊥MP。

∵， ∴

∵

∴

∴AB與MD所成角的大小為。

（Ⅱ）∵AB∥平面OCD，∴點B和點A到平面OCD的距離相等

連接OP，過點A作AQ⊥OP與點Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP

∵平面OAP，∴，

又∵，∴平面O CD，線段的長就是點A到平面OCD的距離。

∵，

∴，∴點B到面OCD的距離為。

方法二（向量法）：

作AP⊥CD與點P。如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為

軸建立直角坐標系。

（Ⅰ）設AB與MD所成角為，

∵，，

∴，∴，∴AB與MD所成角的大小為。

（Ⅱ）

設平面OCD的法向量為，則，

得，取，解得。

設點B到面OCD的距離為，則為在向量上的投影的絕對值。

∵，∴

∴點B到面OCD的距離為。