Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-kx．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為l，若l與圓x²+（y-1）²=1相切，求k的值；
（2）若k＞0，且對于任意實數(shù)x≥0時，f（x）＞0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x），求證：F(1)F(2)…F(n)＞(en+1+2)

n

2

(n∈N*)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用直線和圓的位置關(guān)系即可求k的值；
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題解即可確定實數(shù)k的取值范圍；
（3）求函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x）的表達式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意有，f'（x）=e^x-k．…（1分）
因此過（1，f（1））點的直線的斜率為 e-k，
又f（1）=e-k
所以，過（1，f（1））點的直線方程為 y-（e-k）=（e-k）（x-1）
即（e-k） x-y=0   …（2分）
又已知圓的圓心為（0，1），半徑為r=1，依題意，
∵l與圓x²+（y-1）²=1相切，
∴

|-1|

(e-k)2+1

=1
解得k=e…（4分）
（2）法一：由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①當k∈（0，1]時，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此時f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．…（6分）
②當k∈（1，+∞）時，lnk＞0．
當x變化時f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依題意，k-klnk＞0，又k＞1，
∴1＜k＜e．
綜合①，②得，實數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e．…（9分）
法二：（分離參數(shù)法）f（x）=e^x-kx＞0，在x≥0恒成立
若 X=0時，k為任意實數(shù)…（6分）
若 X＞0時，f（x）=e^x-kx＞0在x＞0恒成立
即k＜e^x/x在x＞0恒成立，再利導(dǎo)數(shù)法求出Q（x）=e^x/x在x＞0上的最小值
Q（x）min=Q（1）=e∴0＜k＜e
實數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e…（9分）
（3）∵F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，
∴F（x₁）F（x₂）=ex1+x2+e-(x1+x2)+ex1-x2+e-x1+x2＞ex1+x2+e-(x1+x2)+2＞ex1+x2+2，…（11分），
∴F（1）F（n）＞eⁿ⁺¹+2，
F（2）F（n-1）＞eⁿ⁺¹+2，
…
F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2
由此得，[F（1）F（2）…F（n）]²=[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）]…[F（n）F（1）]＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ
故F(1)F(2)…F(n)＞(en+1+2)

n

2

，n∈N*．…（13分）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題，綜合性較強，運算量較大．