Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，sinx），若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，函數(shù)f（x）=n

a

•

b

的最大值是

1

2

，求n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用數(shù)量積運(yùn)和倍角公式、兩角和差的正弦公式可得：函數(shù)f（x）=n

a

•

b

=

2

2

nsin(2x-

π

4

)+

1

2

n．由于
x∈[-

3π

8

，

π

4

]，可得(2x-

π

4

)∈[-π，

π

4

]．可得sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

]．再對n分類討論即可得出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=n

a

•

b

=n（sin²x+sinxcosx）
=n(

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x)
=

2

2

nsin(2x-

π

4

)+

1

2

n．
∵x∈[-

3π

8

，

π

4

]，∴(2x-

π

4

)∈[-π，

π

4

]．
∴sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

]．
當(dāng)n≥0時(shí)，sin(2x-

π

4

)=

2

2

時(shí)，f（x）取得最大值，∴

2

2

n+

1

2

n=

1

2

，解得n=

2

-1．
當(dāng)n＜0時(shí)，sin(2x-

π

4

)=-1時(shí)，f（x）取得最大值，∴-

2

2

n+

1

2

n=

1

2

，解得n=-1-

2

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．