Question

把邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)為xcm的相等的正方形，然后折成一個(gè)高度為xcm的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體的盒子，問(wèn)x取何值時(shí)，盒子的容積最大，最大容積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：由已知得長(zhǎng)方體容積V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²，V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)列表討論能求出在x=10時(shí)，盒子的容積最大，最大容積是16000．

解答： 解：設(shè)長(zhǎng)方體高為xcm，則底面邊長(zhǎng)為（60-2x）cm．（0＜x＜30）…（1分）
長(zhǎng)方體容積（單位：cm³）V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²，…（3分）
V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）
=4（x-30）（3x-30）
=12（x-30）（x-10），…（5分）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合題意合去），
列表討論，得：

x	（0，10）	10	（10，30）
V′（x）	+	0	-
V（x）	↑		↓

…（7分）
在x=10時(shí)，V取得最大值為V_max=40•20²=16000．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．