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18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2,an+1=Sn+2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知bn=log2an,求數(shù)列{1nn+1}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)由題意和an=Sn-Sn-1化簡(jiǎn)已知的式子,由等比數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求出公比和首項(xiàng),由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an;
(2)由(1)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)bn,代入\frac{1}{_{n}_{n+1}}化簡(jiǎn)后,利用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和Tn

解答 解:(1)∵an+1=Sn+2,∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-1+2,
兩式相減得,an+1-an=Sn-Sn-1=an,則an+1=2an,
所以an+1an=2(n≥2),
∵a1=2,∴a2=S1+2=4,滿足a2a1=2,
∴數(shù)列{an}是以2為公比、首項(xiàng)的等比數(shù)列,
則an=2•2n-1=2n;
(2)由(1)得,bn=log2an=log22n=n,
1nn+1=1nn+1=1n1n+1,
∴Tn=(1-12)+(1213)+(1314)+…+(1n1n+1
=11n+1=nn+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式,數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間關(guān)系,以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查化簡(jiǎn)、變形能力.

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