Question

15．某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全市100 000名男生的身高服從正態(tài)分布N（168，16）．現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和184cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組[160，164]，第二組[164，168]，組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）試評估該校高三年級男生在全市高中男生中的平均身高狀況；
（Ⅱ）求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)；
（Ⅲ）在這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，該2人中身高排名（從高到低）在全市前130名的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學期望．
參考數(shù)據(jù)：
若ξ-N（μ+σ²）．則
p（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，
p（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，
p（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （I）高三男生的平均身高用組中值×頻率，即可得到結(jié)論；
（II）首先理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數(shù)，即：每組中包含個體的個數(shù)．我們可以依據(jù)頻數(shù)分布直方圖，了解數(shù)據(jù)的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數(shù)．
（III）先根據(jù)正態(tài)分布的規(guī)律求出全市前130名的身高在180 cm以上，這50人中180 cm以上的有2人，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列與期望．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由直方圖，經(jīng)過計算該校高三年級男生平均身高為：（162×$\frac{5}{100}$+166×$\frac{7}{100}+170×\frac{8}{100}+174×\frac{2}{100}+178×$$\frac{2}{100}$+182×$\frac{1}{100}$）×4=168.72．
高于全市的平均值168（或者：經(jīng)過計算該校高三年級男生平均身高為168.72，比較接近全市的平均值168）．…（4分）
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，后三組頻率為（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人數(shù)為0.2×5=10，
即這50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人數(shù)為10人．…（6分）
（Ⅲ）∵P（168-3×4＜ξ＜168+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥180）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，0.0013×100 000=130．
所以，全市前130名的身高在180 cm以上，這50人中180 cm以上的有2人．
隨機變量ξ可取0，1，2，于是：P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{45}$，P（ξ=1）=$\frac{{{C}_{8}^{1}C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴Eξ=0×$\frac{28}{45}$+1×$\frac{16}{45}$+2×$\frac{1}{45}$=$\frac{2}{5}$．…（12分）

點評 此題主要考查了正態(tài)分布，考查隨機變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數(shù)分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數(shù)分布直方圖可以得到什么結(jié)論是學習中需要掌握的關鍵．